Zdjęcie: kobieta pisząca na tablicyW inwestowaniu trudno uciec od elementów matematyki czy statystyki. Teoria inwestowania wywodzi się z rachunku prawdopodobieństwa, a ten z kolei został wymyślony na potrzeby hazardzistów, którzy chcieli zwiększyć swoje szanse na wygraną w grach losowych.
Poniżej we wpisie wyjaśniam kilka pojęć, które każdy inwestor powinien znać i i zrozumieć. Na pewno pomoże to w analizie danych dotyczących gospodarki i inwestycji. Staram się je opisać przystępnym językiem i dodatkowo wyjaśnić na przykładach.
Skomplikowane wzory zostawmy studentom  – w tym  wpisie ich nie znajdziecie;)

Stopa zwrotu

Stopa zwrotu to najważniejsze pojęcie w inwestycjach, bo jest ono bezpośrednim miernikiem sukcesu inwestora.
W najprostszym ujęciu stopę zwrotu obliczamy w następujący sposób:
stopa zwrotu = wartość końcowa inwestycji/wartość początkowa inwestycji – 1
Wynikiem powyższego działania jest ułamek, który najwygodniej zamienić na wartości procentowe (warto zapamiętać, że procent to oznaczenie ułamka w o wartości jednej setnej (0,01). Poniżej na przykładowych wartościach opisałem w jaki sposób określić stopę zwrotu dla pojedynczej inwestycji.
Przykład – obliczanie stopy zwrotu z pojedynczej inwestycji
Inwestor zakupił 10 akcji za 100 zł i zapłacił prowizję maklerską w wysokości 5 zł.
Po kilku miesiącach inwestor sprzedał wszystkie akcje po 120 złotych i zapłacił kolejną prowizję w wysokości 5 zł.
Wartość początkowa inwestycji to 1005 zł (10 x 100 + 5).
Wartość końcowa inwestycji to 1195 zł (12 x 100 – 5) – prowizja jest odejmowana bo ma ona przeciwny znak niż wpływy ze sprzedaży (jest wydatkiem).
Stopa zwrotu po uwzględnieniu prowizji jest równa 1195/1005 – 1 = 1,1782 – 1 = 0,1782= 18,91%.
Stopa zwrotu bez uwzględnienia prowizji jest równa 20% (1200/1000 – 1 = 0,2 = 20%)
Powyższy przykład jest oczywiście banalny. Nie powinno być problemu z obliczeniem stopy zwrotu dla pojedynczej inwestycji. Obliczanie stóp zwrotu dla całego portfela inwestycyjnego, z którego są w międzyczasie dokonywane wpłaty i wypłaty środków, jest jednak dużo bardziej złożonym problemem. Planuję poświęcić temu zagadnieniu osobny wpis.
Chcesz być na bieżąco z wpisami? >>> Zapisz się newsletter.
Dodam jeszcze tytułem ciekawostki, że CFA Institute (największa na świecie organizacja mająca na celu propagowanie wiedzy dotyczącej finansów i inwestowania, organizująca egzaminy CFA) stworzyła dla firm inwestycyjnych wytyczne dotyczące poprawnej i rzetelnej prezentacji osiąganych stóp zwrotu (GIPS – General Investment Performance Standards) –mają one 58 (!) stron.
W tej chwili zasygnalizuję jedynie główne problemy z jakimi trzeba się zmierzyć przy obliczaniu stóp zwrotu dla portfeli inwestycyjnych:
  • stopa zwrotu z portfela vs stopa zwrotu z pojedynczej inwestycji
  • nabywanie i sprzedaż papierów wartościowych w transzach
  • podatek Belki >>> Wpis na temat wpływu podatków na wynik inwestycji
  • opłaty i prowizje
  • dywidendy
  • wpłaty i wypłaty środków do i z portfelu
  • środki gotówkowe na rachunku inwestycyjnym

Stopa wzrostu

W odniesieniu do danych makroekonomicznych (PKB, inflacji,bezrobocie inwestycje itp) zwykle jest używane pojęcie stopy wzrostu. Jest ona wyliczane w taki sam sposób jak opisana wcześniej stopa zwrotu.
Przykład – stopa wzrostu PKB Polski w 2016
W 2016 PKB (Produkt Krajowy Brutto wyniósł 1 859 mld zł w cenach bieżących, a w 2015 roku wyniósł 1 799 mld zł – obydwie wartości są podane w cenach bieżących.
Na tej podstawie możemy obliczyć nominalną stopę wzrostu PKB: +3,3%
Warto jednak zwrócić uwagę, że wzrost nominalnego PKB składa się w części ze zmiany cen produktów i usług, a w części z wzrostu ich ilości. Na stronach GUS możemy znaleźć PKB Polski wyrażony w cenach z 2010 roku, która pozwalają obliczyć wartość PKB bez uwzględniania zmiany cen (realne PKB). Dla 2016 wynosi PKB w cenach z 2010 roku wynosi 1725 mld zł, a dla 2015 roku 1 677 mld zł
Realna stopa wzrostu PKB będzie wynosić 2,9%.
Zwykle w medialnych dyskusjach dotyczących PKB posługujemy się obliczonymi w taki sposób wartościami realnymi.

Indeksy statystyczne

Możemy się również spotkać z pojęciem indeksów, które mają ułatwiać interpretację i porównywanie danych dla szeregów czasowych. Oznacza to przyjęcie dla wybranego okresu jakiejś wartości bazowej (zwykle 100) i proporcjonalne przeliczenie wszystkich wartości względem wartości przyjętej dla okresu bazowego. Indeksy bazujące na liczbie 100 są wygodne w użyciu, bo bez większego problemu można określić zmianę procentową pomiędzy 2 różnymi punktami.
Indeksy mogą mieć 2 postacie:
  • jednopodstawowe – przyjmujące jako podstawę wartość dla jednego okresu. Przykład poniżej – PKB Polski w ujęciu realnym, mające jako odniesienie PKB w roku 2003 (przed wejściem Polski do Unii Europejskiej)
Wykres: PKB Polski w cenach stałych 2003, lata 1998-2016
  • łańcuchowe – kiedy podstawą jest wartość poprzedniego okresu znormalizowana do jakiejś wielkości standardowej (np. 100%) – wykres takiego indeksu będzie wyglądał podobnie wykres stóp wzrostu, co można zobaczyć na poniżej. Słupki przedstawiają PKB w porównaniu do poprzedniego roku (wartości są na lewej osi), a linia samą roczną stopę wzrostu PKB (wartości są na prawej osi).
Wykres: wzrost PKB polski w latach 1999-2016

Procent i punkt procentowy

Procent i punkt procentowy to klasyczny przykład pojęć, które często są mieszane w dyskusjach dotyczących ekonomii i gospodarki. Warto wiedzieć czym się one od siebie różnią i kiedy powinny być używane
Procent to po prostu ułamek o wartości 0,01 (jedna setna), zwykle używany albo do określenia tempa wzrostu lub spadku jakiejś wartości (np stopa zwrotu) lub udziału jakiejś części w całości (udział procentowy). Punkt procentowy jest używany  określenia zmiana wartości dla danych podanych w procentach.
Bardzo często do czynienia z nadmiernymi uproszczeniami i skrótami myślowymi, które mogą skutkować błędami w interpretacji danych ekonomicznych.
Przykład – wzrost PKB i skróty myślowe
Można spotkać się ze stwierdzeniem następującego rodzaju „PKB Polski spadł o 1 procent” (np. z 5 do 4%). Precyzyjnie mówiąc ma to oznaczać, że tempo wzrostu PKB Polski zmniejszyło się z 5% do 4%.
 
Żeby zachować precyzję należałoby zwrócić uwagę na następujące kwestie:
  • nie PKB spadło, a spadła stopa wzrostu PKB
  • PKB spadło nie o 1 procent, ale o 1 punkt procentowy
  • w zasadzie poprawne (choć dość dziwne) będzie stwierdzenie, że wzrost PKB spadł o 20% (4%/5% – 1 = 0,20 = 20% ).
Nieporozumienia (lub próby manipulacji ze strony prezentującego informacje) mogą być jeszcze większe, jeśli chodzi o udziały procentowe.
Przykład – udział podawany w procentach
„Mieliśmy udział rynkowy 40% i zwiększyliśmy go o 20%.”
To jest stwierdzenie wyjątkowo niejasne. Może ono oznaczać 2 sytuacje:
  • udział rynkowy wynosił 40%, a teraz wynosi 60%.
  • udział rynkowy wynosił 40%, a teraz wynosi 48% (48/40- 1 =1,2 – 1 = 20%). Wzrost 20% to wzrost z 40 do 48.
Bez dodatkowych danych właściwie nie jesteśmy w stanie zweryfikować o którą z tych 2 sytuację chodzi.
Często jednak (np. w prezentacjach spółek dla inwestorów) możemy się spotkać z tego rodzaju stwierdzeniami. Które mają przedstawiać pozytywne informacje w wyolbrzymiony sposób , a informacje negatywne w sposób pomniejszający ich znaczenie
Przykładowo:
  • w segmencie X nasz marża wzrosła o 10% (z 5% do 5,5%)
  • w segmencie Y nasza marża zmalała o 1 punkt procentowy (z 5% do 4%)
Przy określaniu zmian wartości procentowym należy posługiwać się pojęciem punktu procentowego. Słysząc informację, że udział rynkowy wynosił 40% i wzrósł o 8 p. proc. (punktów procentowych) mamy precyzyjną informację, że wynosi on teraz 48%.

Średnia i mediana

Średnia to wartość pokazująca przeciętną wartość dla jakiegoś zbioru (np. przeciętne wynagrodzenie dla danej grupy pracowników, średnia stopa zwrotu dla danego typu funduszy inwestycyjnych) – zazwyczaj  mamy do czynienia ze średnią arytmetyczną, która jest obliczana jako suma poszczególnych wartości dzielona przez liczbę elementów.
Mediana to z kolei wartość, która dzieli populację na 2 równe części, czyli jest to wartość danej cechy dla elementu będącego dokładnie pośrodku populacji elementów uszeregowanych w porządku rosnącym.
Wykres: przykładowy rozkład wynagrodzeń (statystyka inwestycje)
Przykład – średnia i mediana na przykładzie rozkładu wynagrodzeń
Jak średnia różni się od mediany można sobie łatwo uzmysłowić patrząc na rozkład wynagrodzeń w hipotetycznej firmie. Załóżmy, że pracuje w niej 90 pracowników zarabiających po 3000 złotych, 9 kierowników zarabiających po 9000 zł i prezes zarabiający 30000 zł.
Średnia nie jest zbyt trudna do wyliczenia. Łącznie fundusz płac wyniesie 401 tys. zł (90 * 3000 + 9* 9000 + 1*50000 = 401 000), co po podzieleniu na 100 pracowników da 4 010 zł.
Medianą będzie kwota 3000 zł – tyle będzie zarabiał środkowy (pięćdziesiąty pierwszy) pracownik.
Zwróćmy uwagę, że 90 ze 100 pracowników zarabia mniej (3 000 zł) niż średnia (3 540 zł).

Powyższy przykład może się wydawać przejaskrawiony, ale według danych GUS wynagrodzenie 2/3 Polaków (66,2%) jest  poniżej średniej (liczonej jako średnia arytmetyczna). Przykładowo w październiku 2016 średnie wynagrodzenie wynosiło 4 346,76 zł, a mediana jedynie 3 510,67 zł.

Średnia arytmetyczna i średnia geometryczna

Warto również zwrócić uwagę na sposób liczenia średniej. Mamy wiele rodzajów liczenia średniej, które mogą dawać różne wyniki. Zwykle jest używana średnia arytmetyczna, obliczana w taki sposób jak wew skazanym wcześniej przykładzie ze średnią płacą (suma wartości dzielona przez liczbę elementów).
Zazwyczaj takie podejście jest poprawne, ale czasami warto zwrócić uwagę na średnią geometryczną, która bardziej nadaje się do analizy wyników inwestycyjnych. Średnia arytmetyczna przy analizie wyników inwestycji może być dość myląca, bo nie uwzględnia efektu zmiany kapitału wynikającej z osiągniętej stopy zwrotu, co za chwilę zobaczymy na przykładzie.
Problem ten był już sygnalizowany we wcześniejszym wpisie dotyczącym stóp zwrotu, jakie są możliwe do osiągnięcia na giełdzie.

Przykład – średnia arytmetyczna i wyniki inwestycyjne

Inwestujemy kwotę 100 złotych i w 3 kolejnych latach nasz kapitał osiąga następujące wartości:
  • 80 zł na koniec 1 roku
  • 60 zł na koniec drugiego roku
  • i 90 zł na koniec 3 roku
Obliczamy stopy zwrotu osiągnięte w poszczególnych latach:
  • -20% w pierwszym roku (80/100 – 1 = -20%)
-25% w drugim roku (60/80 – 1 = -25%)
+50% w pierwszym roku (90/60 – 1 =  50%)
Nietrudno policzyć że łączna stopa zwrotu z inwestycji w ciągu 3 lat to -10% (90/100-1 = -10%).
Średnia roczna stopa zwrotu, obliczona jako średnia arytmetyczna wyniesie (-20% + -25% + 50%)/3 = (5%)/3 = +1,67%
Widzimy tu, że średnia arytmetyczna daje dość zaskakujące wyniki, bo mimo że straciliśmy 10% zainwestowanego kapitału to wyliczona średnia stopa z inwestycji jest dodatnia.
Z pomocą przyjdzie nam tutaj średnia geometryczna, która daje wyniki dużo bardziej wartościowe dla inwestora.

Przykład – średnia geometryczna i wyniki inwestycyjne

Obliczamy ją za pomocą opisanych wcześniej indeksów łańcuchowych:
  • dla poszczególnych lat wartości indeksów wyniosą odpowiednio 0,80 dla pierwszego roku (80/100), 0,75 dla drugiego roku (60/80) i 1,5 dla trzeciego roku
  • mnożymy wszystkie indeksy przez siebie i otrzymujemy 0,9 (0,8 * 0,75 * 1,5 = 0,9), zwróćmy uwagę, że otrzymaliśmy indeks wynikający z efektu inwestycji za całe 3 lata (90/100 = 0,9)
  • średnia geometryczna to pierwiastek n-tego z iloczynu indeksów, gdzie n to liczba okresów (w tym wypadku jest to pierwiastek 3 stopnia z 0,9), czyli 0,9655
  • średnia stopa zwrotu to 3,45% (0,9655- 1 = 0,0345 = 3,45%)
Obliczenia mogą wydawać się skomplikowane, ale łatwo można to policzyć za pomocą arkusza kalkulacyjnego. Poniżej zrzut ekranu z programu MS Excel.
Tabelka: w jaki sposób policzyć średnią geometryczną
Warto zwrócić uwagę, że w przypadku różnych stóp zwrotu średnia geometryczna da zawsze niższy wynik niż średnia arytmetyczna.
Jak liczyć  średnia
Aby obliczyć średnią geometryczną najprościej jest skorzystać z arkusza kalkulacyjnego. W obliczeniach należy posługiwać się indeksami, mającymi za podstawę wartość kapitału z poprzedniego okresu, tak jak to opisano w przykładzie. Często nie da się obliczyć średniej geometrycznej bezpośrednio dla stóp zwrotu – jeśli choć jedna wartość będzie ujemna, obliczenie pierwiastka będzie niemożliwe.

Kwartyle, decyle i centyle

Każde z powyższych pojęć jest jednym ze zdefiniowanych w statystyce kwantyli. W kwantylach  podstawą mogą być różne liczby. Celem kwantyli jest podział populacji na określona liczbę części i wskazanie wartości granicznych oddzielających poszczególne przedziały. Ich nazwy pochodzą od liczebników greckich:
  • kwartyl – (dla łatwiejszego zapamiętania – kwarta to po staropolsku ćwierć, czyli 1/4) dzieli populacje na 4 części. Pierwszy kwartyl to wartość poniżej której są wartości dla 25%populacji i powyżej którego plasuje się pozostałe 75%, drugi kwartyl dzieli populację na pół (50% ma wartości poniżej i 50% powyżej, więc jest tożsamy z medianą) a trzeci kwarty to wartość dla której 75% jest powyżej, a 25% poniżej
  • decyl – dzieli populację na 10 części (np. dekagram – czyli 10 gramów) –
  • centyl zwany również czasami percentylem – dzieli populację na 100 części (np. centymetr, czyli jedna setna metra). Tą wartość można rozumieć jako informację, w jakim % populacji znajduje się element o wartości wskazanej dla danego centyla
Centyl jest pojęciem znanym rodzicom i stojącym u źródeł popularnej siatki centylowej, za pomocą której porównujemy  (centyl) oznaczające w jakiej części populacji znajduje się dziecko pod względem wzrostu albo wagi.
Przykład
Jeśli dziecko jest w 18 centylu dla danego wieku pod względem wagi, oznacza to, że jest lżejsze niż 17% dzieci i cięższe niż 82% dzieci z danej grupy wiekowej.
Również opisana wcześniej medianę można potraktować jako jeden z kwantyli, bo jest to wartość dzieląca populację na 2 równe części.

Analiza danych – fundusze inwestycyjne

Zobaczmy jak taka analiza danych  wygląda na przykładzie wyników funduszy inwestycyjnych.
Wykres: analiza wyników polskich funduszy akcyjnych - listopad 2017 (średnia, mediana, kwartyle)

Przykład – analiza rozkładu stóp zwrotu

Zerknijmy na rozkład stóp zwrotu osiągniętych przez fundusze inwestujące w polskie akcje od początku 2017 do końca listopada. Analizując odpowiednie dane i możemy wskazać następujące obserwacje:
  • maksymalna osiągnięta wartość to 38,8%
  • minimalna wartość to -8,0%
  • średnia arytmetyczna stóp zwrotu to 11,5%
  • mediana jest trochę wyższa i wyniosła 12,3%
  • Obliczyliśmy również kwartyle:
    • pierwszy kwartyl ma wartość 16,5%, co oznacza, ze 15 na 60 funduszy (25%) osiągnęło wyższą stopę zwrotu (czyli między 16,5% a 38,8%), a 45 na 60 funduszy (75%) niższą stopę zwrotu
    • drugi kwartyl (czyli mediana) ma wartość 12,3%, co oznacza, że fundusze na miejscach 16-30 w rankingu osiągnęły stopę zwrotu między 12,3% a 16,5%
    • trzeci kwartyl ma wartość 7,3%, co oznacza, że fundusze na miejscach 31-45 w rankingu osiągnęły stopę zwrotu między 7,3% a 12,3% oraz że ostatnie 15 funduszy (pozycje 46-60 w rankingu) osiągnęły stopę zwrotu między -8,0% a +7,3%

Statystyka i inwestycje – podsumowanie

Mam nadzieję, że formuła wpisu pozwoliła na łatwe zrozumienie tych pojęć. Starałem się unikać skomplikowanych wzorów lub definicji, ale jeśli coś  jest jednak niejasne, proszę o informacje w komentarzu do wpisu. Mam nadzieję, że pomogłem w zrozumieniu tych pojęć i że pomogą one w analizie informacji dotyczących gospodarki i inwestycji.
Zapraszam do utrzymywania kontaktu z blogiem „Z pamiętnika analityka” na bieżąco.
Można to zrobić w następujący sposób:
– zapisać się na newsletter
– polubić na Facebooku fanpage bloga
– obserwować Twitterze mój profil